Bất đẳng thức cosi lớp 8

     

Bất đẳng thức Cosi là một trong những kiến thức toán học phổ biến, được áp dụng để giải nhiều dạng toán về phương trình cùng bất phương trình khác nhau tương tự như tìm giá trị lớn số 1 và giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức. Trong bài viết này, Team american-home.com.vn Education sẽ giúp các em hiểu rõ hơn những kiến thức và kỹ năng về bất đẳng thức Cosi cho 2 số, mang đến 3 số, dạng tổng thể và hệ quả với một số bài tập áp dụng có đáp án.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức cosi lớp 8


*

Bất đẳng thức Cosi là 1 bất đẳng thức truyền thống trong toán học, khởi đầu từ bất đẳng thức giữa trung bình cùng và mức độ vừa phải nhân (AM – GM). BĐT Cosi được chứng minh bởi công ty toán học fan pháp Augustin – Louis Cauchy. Bên cạnh tên Cosi, nhiều người còn được gọi là bất đẳng thức Cauchy xuất xắc bất đẳng thức AM – GM (viết tắt của của Arithmetic Mean và Geometric Mean).


Các dạng màn biểu diễn bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Côsi hoàn toàn có thể được màn biểu diễn bằng dạng bao quát hoặc dưới nhiều dạng đặc biệt khác nhau.

Bất đẳng thức Côsi dạng tổng quát

Với những số thực không âm x1, x2,…, xn ta hoàn toàn có thể biểu diễn bất đẳng thức Cosi dưới 3 dạng như sau: 

eginaligned&ull extbfDạng 1: fracx_!+x_2+...+x_nnge sqrtx_1.x_2...x_n\&ull extbfDạng 2: x_1+x_2+...+x_nge n. sqrtx_1.x_2...x_n\&ull extbfDạng 3:left(fracx_!+x_2+...+x_nn ight)^nge x_1.x_2...x_nendaligned

eginaligned&ull extbfDạng 1: frac1x_1+frac1x_2+...+frac1x_nge fracn^2x_1+x_2+...+x_n\&ull extbfDạng 2: (x_1+x_2+...+x_n)left( frac1x_1+frac1x_2+...+frac1x_n ight) ge n^2endaligned
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = … = xn

Dạng quánh biệt của bất đặng thức Cauchy

Một số dạng biểu diễn quan trọng đặc biệt khác của bất đẳng thức Côsi:


*

Hệ trái của bất đẳng thức Côsi

Từ công thức tổng thể và những dạng đặc biệt, ta có 2 hệ quả đặc biệt của bất đẳng thức Cauchy mà các em buộc phải ghi nhớ dưới đây. Các hệ trái này thường xuyên được áp dụng nhiều trong việc tìm kiếm giá trị lớn nhất và giá bán trị nhỏ dại nhất của biểu thức.

Hệ quả 1: trường hợp tổng của 2 số dương không thay đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bởi nhau.Hệ trái 2: giả dụ tích của 2 số dương không thay đổi thì tổng của 2 số này nhỏ nhất khi 2 số đó bởi nhau.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi

Chứng minh bất đẳng thức Cosi cùng với 2 số thực không âm

Với 2 số thực ko âm a với b, ta thấy khi a và b đều bằng 0 thì biểu thức này luôn đúng. Dịp này, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức Cosi luôn luôn đúng cùng với 2 số a, b dương.

Xem thêm: Công Thức Tính Thi Đấu Vòng Tròn 9 Đội, Phương Pháp Tổ Chức Thi Đấu


eginaligned&fraca+b2ge sqrtab\&Leftrightarrow a+b ge 2sqrtab\&Leftrightarrow a-2sqrtab+bge 0\&Leftrightarrow (sqrta-sqrtb)^2 ge0 ext (luôn đúng forall a,bge0)endaligned
Như vậy, ta đã minh chứng được BĐT Cosi luôn đúng cùng với 2 số thực không âm.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi cùng với 3 số thực ko âm

Với a, b, c đều bằng 0, bất đẳng thức Cosi luôn đúngVới a, b, c dương, ta chứng tỏ BĐT Cosi như sau:

eginaligned& extĐặt x=sqrt<3>a, y=sqrt<3>b, z=sqrt<3>c\&Rightarrow x,y,zge0Rightarrow x+y+zge0endaligned

eginaligned&(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz ge0\&Leftrightarrow (x+y+z)<(x+y)^2-(x+y)z+z^2>-3xy(x+y+z)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz)-3xy(x+y+z)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)ge 0\&Leftrightarrow 2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)<(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2>ge 0 ext (luôn đúng forall x,y,zge0)\endaligned
Khi đó, dấu bằng xảy ra khi x = y = z xuất xắc a = b = c

Chứng minh bất đẳng thức Cosi cùng với n số thực không âm

Theo chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương ta được biểu thức luôn đúng. Suy ra, cùng với n = 2 (2 số thực không âm) thì BĐT Cosi luôn luôn đúng.

Do đó, để minh chứng bất đẳng thức luôn đúng cùng với n số thì cần chứng minh nó cũng đúng với 2n số. Cách chứng minh như sau:


x_1+x_2+...+x_nge nsqrtx_1x_2...x_n+nsqrtx_n+1x_n+2...x_2nge 2nsqrt<2n>x_n+1x_n+2...x_2n
Theo đặc điểm quy nạp thì bất đẳng thức này đúng với n là 1 trong lũy quá của 2.

Giả sử bất đẳng thức Cosi đúng cùng với n số, ta chứng tỏ được nó luôn đúng với n-1 số như sau:


eginaligned&x_1+x_2+...x_nge nsqrtx_1x_2...x_n\&x_n=fracsn-1 ext cùng với s=x_1+x_2+...+x_n\&Rightarrow s ge (n-1)sqrtx_1x_2...x_n-1endaligned
BĐT Cosi cùng với 2n số với (n – 1) số luôn luôn đúng, từ đó ta hoàn toàn có thể kết luận rằng BĐT Cosi với n số thực không âm luôn đúng.

*

Bài tập vận dụng

Dạng 1: Áp dụng bất đẳng thức Cosi trực tiếp

Cho 3 số dương a, b, c, hãy chứng minh: 


eginaligned&a+frac1b ge 2sqrtfracab ; b+frac1c ge 2sqrtfracbc ; c+frac1a ge 2sqrtfracca\&Leftrightarrow left(a+frac1b ight)left(b+frac1c ight)left(c+frac1a ight)ge 8sqrtfracab.sqrtfracbcsqrtfracca=8 ext (điều yêu cầu chứng minh)endaligned
Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi a = b = c.

Xem thêm: Những Câu Ca Dao Nói Về Quê Hương Đất Nước, Những Câu Ca Dao

Dạng 2: biến đổi nhân chia, thêm, bớt một biểu thức

Cho 3 số thực dương a, b, c, chứng minh rằng:


eginaligned&fracabc+fracbcage 2sqrtfracabc.fracbca=2b (1)\&fracbca+fracacbge 2sqrtfracbca.fracacb=2c (2)\&fracabc+fracacbge 2sqrtfracbca.fracacb=2a (3)\&(1)+(2)+(3) Leftrightarrow2left(fracabc+fracbca+fracacb ight)ge 2(a+b+c)\&Leftrightarrowfracabc+fracbca+fracacbge a+b+c ext (điều phải chứng minh)endaligned

Qua nội dung bài viết trên đây, Team american-home.com.vn Education đã share đến những em tổng thể nội dung tương quan đến bất đẳng thức Cosi lớp 8, lớp 9, lớp 10 bao hàm định nghĩa, hệ quả, cách chứng minh cùng với hầu như dạng bài bác tập thường chạm chán có đáp án đưa ra tiết. Hy vọng với những kỹ năng này, các em có thể giải tốt các bài bác tập tương quan đến bất đẳng thức Côsi trong các bài kiểm tra toán chuẩn bị tới. 

Hãy liên hệ ngay cùng với american-home.com.vn để được tư vấn nếu các em mong muốn học online trực tuyến nâng cấp kiến thức nhé! american-home.com.vn Education chúc những em lấy điểm cao trong các bài chất vấn và kỳ thi chuẩn bị tới!


*

*

*

american-home.com.vn – căn nguyên lớp học trực tuyến hàng đầu, cung cấp giải pháp giáo dục toàn vẹn ngoài ngôi trường học mang lại tất cả học viên trên toàn quốc với chất lượng tốt nhất!Tìm gọi thêm về american-home.com.vn tại:


Địa chỉ 1: Tầng 9, Tòa nhà Lim Tower 3, 29A Nguyễn Đình Chiểu, Phường Đa Kao, Quận 1, TP. Hồ Chí Minh.

Địa chỉ 2: tầng trệt dưới – 3 ,Tòa công ty Yoko Building, 677/6 Điện Biên Phủ, Phường 25, Quận Bình Thạnh, TP. Hồ Chí Minh