Cách Chứng Minh 4 Điểm Cùng Thuộc 1 Đường Tròn

     

– Cách 1: Chứng minh các điểm này cùng cách đều một điểm O thì các điểm này cùng nằm trên đường tròn tâm O.

Bạn đang xem: Cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc 1 đường tròn

Bạn đang xem: Chứng minh 4 điểm b, d, c, e cùng thuộc 1 đường tròn

– Cách 2: Chứng minh các điểm này cùng nhìn một cạnh dưới các góc vuông thì các điểm này cùng nằm trên đường tròn nhận cạnh là đường kính và nhận trung điểm của cạnh là tâm.

II. Bài tập mẫu

Bài 1. Cho tứ giác ABCD có tổng hai góc C và D là


*

. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC và CA. Chứng minh rằng bốn điểm M, N , P , Q cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đó.

Giải

Gọi K là giao điểm của AD và BC

Vì:

M, N là trung điểm của AB và BD⇒ MN là đường trung bình của tam giác ABD

P, Q là trung điểm của DC và AC⇒ PQ là đường trung bình của tam giác ACD

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.

M, Q là trung điểm của AB và AC⇒ MQ là đường trung bình của tam giác BAC

⇒ MQ // BC (3)

Ta có: AD⊥ BC nên từ (1) và (3) suy ra MN⊥ MQ

Do đó, tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ.

Ta có: IM = IN = IP = IQ (tính chất giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật)

⇒ 4 điểm M, N, P , Q cách đều điểm I nên bốn điểm này cùng thuộc đường tròn

(I; IM).

Bài 2. Cho hình thoi ABCD có góc A bằng


*

, AB = a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó theo a.

Giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD.

Do tính chất đối xứng của hình thoi nên O cùng là giao điểm của hai đường chéo EG và HF.

E, F là trung điểm của AB và BC⇒ EF là đường trung bình của tam giác ABC.

H, G là trung điểm của AD và DC⇒ HG là đường trung bình của tam giác ADC

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành.

E, H là trung điểm của AB và AD ⇒EH là đường trung bình của tam giác BAD

⇒ EH // BD (3)

Ta có: AC⊥ BD (tính chất hai đường chéo của hình thoi) nên từ (1) và (3) suy ra

EF⊥ EH. Do đó, tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

⇒ OE = OF = OG = OH

(tính chất giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật) (*)

Ta có: OE là đường trung tuyến của tam giác vuông AOB (E là trung điểm của AB)

Lại có:

Do đó:△OBE là tam giác đều (tam giác cân có một góc bằng


*

)

⇒ OB = OE⇒ OB = OD = OE (**)

Từ (*) và (**) suy ra 6 điểm E, F, G, H, B, D cách đều điểm O nên 6 điểm nay cùng nằm trên đường tròn (O, OB).

Bài 3. Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó lấy hai điểm D và E. AD cắt BE tại I, AE cắt BD tại F.

a. Chứng minh IF⊥ AB tại J

b. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BF, IF. Chứng minh 4 điểm J, P, Q, R cùng nằm trên một đường tròn.


Giải

a. D, E thuộc đường tròn đường kính AB

⇒ BD, AE là đường cao của tam giác AIB

⇒ F là trực tâm của tam giác AIB

⇒ IF là đường cao của tam giác AIB

⇒ IF⊥ AB tại J (đpcm)

b.△PJR vuông tại J (IJ⊥ AB)⇒ J nằm trên đường tròn đường kính PR (*)

P, Q là trung điểm của AB và BF⇒ PQ là đường trung bình của△ABF

⇒PQ // AF (1)

R, Q là trung điểm IF và BF⇒ RQ là đường trung bình của△IFB

⇒ RQ // IB (2)

Ta có: AF⊥ IB nên từ (1) và (2) suy ra PQ⊥ QR

⇒ Q nằm trên đường tròn đường kính PR (**)

Từ (*) và (**) suy ra bốn điểm P, Q, R, J cùng nằm trên đường tròn đường kính PR.

Xem thêm: Đảo Cát Bà Thuộc Tỉnh Thành Phố Nào, Đảo Cát Bà Thuộc Tỉnh Nào

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.

Giải

△BAD có góc A bằng



⇒ A nằm trên đường tròn đường kính BD.

△BED có góc E bằng



(E là hình chiếu của D lên BC)⇒ E nằm trên đường tròn đường kính BD.

F đối xứng với E qua BD nên F cũng nằm trên đường tròn đường kính BD (tính chất đối xứng của đường tròn).

Vây 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên đường tròn đường kính BD tâm O là trung điểm của BD.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. Độ dài bán kính của đường tròn đi qua 4 điểm A, B, C, D bằng:

a. 5cm

b. 8cm

c. 6cm

d. 10cm

Bài 2. Cho các giả thiết sau:

(1) Nếu tam giác có ba góc nhọn

(2) Nếu tam giác có góc vuông

(3) Nếu tam giác có góc tù

(4) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên ngoài tam giác.

(5) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên trong tam giác.

(6) thì tâm của đường tròn ngoài tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh huyền.

Nối hai giả thiết nào với nhau thì được câu khẳng định đúng nhất:

a. (1) với (6)

b. (2) với (6)

c. (2) với (4)

d. (1) với (5)

Bài 3. Cho các giả thiết sau:

(1) Tập hợp các điểm có khoảng cách đến điểm O cố định bằng 5cm

(2) Đường tròn tâm O bán kính 5cm gồm tất cả những điểm


(3) Hình tròn tâm O bán kính 5cm gồm tất cả những điểm

(4) là đường tròn tâm O bán kính 5cm

(5) có khoảng cách đến điểm O nhỏ hơn hoặc bằng 5cm

(6) có khoảng cách đến điểm O bằng 5cm

(7) có khoảng cách đến điểm O lớn hơn 5cm

Nối hai giả thiết nào với nhau thì được câu khẳng định đúng nhất:

a. (1) với (7)

b. (1) với (6)

c. (1) với (4)

d. (3) với (4)

Bài 4. Cho hình thoi ABCD, đường trung trực của cạnh AB cắt BD tạ E và cắt AC tại F. Khi đó.

a. E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD

b. F làtâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD

c. E làtâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

d. F làtâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 5. Tam giác ABC có cạnh BC cố định, đường trung tuyến BM = 10cm. Đình A di động trên đường tròn có bán kính:

a. 40cm

b. 10cm

c. 30cm

d. 20cm

Bài 6. Cho tam giác cân tại A, các đường cao AI, BK, CL cắt nhau tại H. Khi đó:

a. Bốn điểm A, B, K, H nằm trên một đường tròn

b. Bốn điểm B, L, K, H nằm trên một đường tròn

c. Bốn điểm B, C, K, L nằm trên một đường tròn

d. Bốn điểm A, C, L, H nằm trên một đường tròn

Bài 7. Cho đường tròn đường kính AB. Nếu điểm M thuộc đường tròn thì:

Bài 8. Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó lấy hai điểm D và E. AD cắt BE tại I, AE cắt BD tại F, IF cắt AB tại J. Gọi P, Q, R, M và N lần lượt là trung điểm của AB, BF, IF, BI và IA. Khi đó 8 điểm Q, R, E, N, J, P, M , D cùng nằm trên đường tròn:

a. đường kính PR

b. đường kính DQ

c. đường kính SE

d. đường kính JR

Bài 9. Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH = h và đáy BC = 2a. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng:


1. Cho tam giác nhọn ABC , hai đường cao BD và CE . Cm 4 điểm B, D , C,E cùng thuộc 1 đường tròn , hãy xác định tâm .

Xem thêm: Màn Đêm Ngoài Khung Cửa Sổ Tam Giác Là Đêm Tối, Phim Bên Ngoài Khung Cửa Sổ Tam Giác Là Đêm Tối

2. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH =2cm , BC =8cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt AH kéo dài tại D .

a) Cm 2 điểm B, C thuộc đường tròn , đường kính AD

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời. Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!