Cách Chứng Minh Hình Chữ Nhật

     

Lý thuyết hình chữ nhật. Cách chứng tỏ tứ giác là hình chữ nhật cấp tốc nhất

Hình chữ nhật là gì ? Hình chữ nhật tất cả những đặc điểm gì? vết hiệu nhận ra hình chữ nhật như thế nào hay cách chứng tỏ tứ giác là hình chữ nhật cầm nào mang đến hay lại nhanh gọn … tất cả những mắc mắc này sẽ được THPT Sóc Trăng chia sẻ qua bài viết sau đây. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ HÌNH CHỮ NHẬT


1. Định nghĩa

Bạn vẫn xem: lý thuyết hình chữ nhật. Cách chứng tỏ tứ giác là hình chữ nhật nhanh nhất

Hình chữ nhật là tứ giác bao gồm bốn góc vuông. Hình chữ nhật cũng là 1 hình bình hành.

Bạn đang xem: Cách chứng minh hình chữ nhật


*

ABCD">ABCD là hình chữ nhật ⇔A^=B^=C^=D^=90∘">⇔ˆA=ˆB=ˆC=ˆD=90∘

Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành cũng là 1 trong những hình thang cân.

2. Tính chất

 Hình chữ nhật là có toàn bộ các tính chất của hình bình hành và hình thang cân.

– nhì cạnh đối song song, nhị cạnh đối bằng nhau, nhì góc đối bởi nhau

– nhì đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

3. Tín hiệu nhận biết

a) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

b) Hình thang cân bao gồm một góc vuông là hình chữ nhật.

c) Hình bình hành bao gồm một góc vuông là hình chữ nhật.

d) Hình bình hành có hai đường chéo cánh bằng nhau là hình chữ nhật.

4. Định lí

a. Định lí 1: Trong Hình chữ nhật, nhị đường chéo cánh bằng nhau và giảm nhau tại trung điểm từng đường. Ngược lại, nếu như tứ giác có 2 đường chéo bằng nhau và giảm nhau trên trung điểm của mỗi mặt đường là hình chữ nhật.

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD bao gồm AC = BD và cắt nhau trên O, trong đó OA = OB = OC = OD, minh chứng Tứ giác ABCD là Hình chữ nhật.

*

Xét tam giác ABD có:

OA = OB = OD (gt) => ∆ABD vuông trên A

( Tính chất đường trung con đường ứng cùng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền trong tam giác vuông )

Chứng minh tương tự, ta có:

∆ABC vuông tại B, ∆BCD vuông trên C, ∆CDA vuông tại D

=> Tứ giác ABCD là hình chữ nhật do gồm 4 góc vuông.

b. Định lí 2: Áp dụng vào Tam giác

+ trong tam giác vuông mặt đường trung đường ứng cùng với cạnh huyền bởi nửa cạnh huyền.

+ ví như một tam giác bao gồm đường trung con đường ứng với cùng một cạnh bởi nửa cạnh ấy thì tam giác chính là tam giác vuông.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Hotline I là trung điểm của AC, E là vấn đề đối xứng với H qua I. Chứng tỏ tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

*

⇒ HE là con đường trung tuyến đường của Δ AHC.

Xem thêm: Cách Để Viết Phương Trình Phân Tử Và Ion Rút Gọn Và Các Bài Toán Liên Quan

⇒ HI = ½AC = AI = IC.

Mà E đối xứng với H qua I ⇒ HI = IE.

Khi đó ta tất cả HI = IE = AI = IC.

+ Xét Δ HCE bao gồm CI là đường trung con đường ứng cùng với cạnh HE

mà CI = ½ HE ⇒ Δ HCE vuông tại C.

Chứng minh tương tự ta có: Δ AHE, Δ AEC những là những tam giác vuông trên A, E.

Xét tứ giác AHCE tất cả Góc EAH = AHC = HCE = CEA = 90°

⇒ Tứ giác AHCE là hình chữ nhật. ( đ.p.c.m )

II. MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH CHỮ NHẬT CỰC HAY

Cách 1: chứng minh hình thang cân bao gồm một góc vuông là hình chữ nhật

Ví dụ: Cho hình thang cân nặng ABCD cùng với AB // CD, đưa sử góc D = 90°. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật

*

Theo đưa thiết: Góc D = 90°

Ta có: AB // CD (ABCD là hình thang)

⇒ Góc A + D = 180° (hai góc trong thuộc phía)⇒ Góc A = 90°

Lại tất cả Góc A + Góc C = 180° ⇒ Góc C = 90°

Vậy tứ giác ABCD có 3 góc A = B = C = 90°

⇒ ABCD là Hình chữ nhật. ( đ.p.c.m )

Cách 2: minh chứng tứ giác có cha góc vuông là hình chữ nhật

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có ∆ABC vuông tại A, ∆BCD vuông trên B, ∆CDA vuông trên C. Tứ giác ABCD là hình gì. Do sao?

Theo bài bác ra, ta có:

∆ABC vuông tại A ⇒ Góc BAC = 90°

∆BCD vuông trên B ⇒ Góc CBD = 90°

∆CDA vuông tại C ⇒ Góc DCA = 90°

⇒ Góc ADC = 90° (Tổng 4 góc của một tứ giác bừng 360 độ)

⇒ Tứ giác ABCD là hình chữ nhật do tất cả bốn góc vuông. ( đ.p.c.m )

Cách 3: chứng minh hình bình hành gồm hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân nặng tại A, những đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Hotline D là điểm đối xứng với B qua M, call E là vấn đề đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? vày sao?

*

Theo bài bác ra, ta có: G là trọng tâm của ΔABC.

⇒ GB = 2GM với GC = 2GN

Điểm D đối xứng cùng với điểm G qua điểm M⇒ MG = MD hay GD = 2GMSuy ra: GB = GD (3)

Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N⇒ NG = NE giỏi GE = 2GNSuy ra: GC = GE (4)

Từ (3) cùng (4) ⇒ Tứ giác BCDE là Hình bình hành do nhị đường chéo cánh cắt nhau trên trung điểm mỗi đường. (5)

Xét ΔBCM cùng ΔCNB, có:

BC cạnh chungGóc BCM = CBN (tính hóa học tam giác cân)CM = BN (vì AB = AC)

Suy ra: ΔBCM = ΔCBN (c.g.c)

⇒ Góc B1 = C1 ⇒ ΔGBC cân nặng tại G ⇒ GB = GC ⇒ BD = CE (6)

Từ (5) và (6), suy ra: BCDE là hình chữ nhật do là hình bình hành gồm hai đường chéo bằng nhau. ( đ.p.c.m )

Cách 4: chứng tỏ hình bình hành tất cả một góc vuông là hình chữ nhật

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân nặng tại C. Bên trên cạnh AC, BC mang lần lượt các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Trường đoản cú điểm p. Vẽ PM // BC (M nằm trong AB). Chứng tỏ tứ giác PCQM là hình chữ nhật.

*

Theo bài xích ra, ta có:

∆ABC vuông trên C ⇒ AC ⊥ BC = > AP ⊥ PM

⇒ ∆APM vuông cân nặng tại P

⇒ AP = PM

Lại có: AP = CQ

Mà PM // CQ

⇒ MNPQ là hình bình hành (1)

Mặt khác: Góc C = 90° (2)

Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật ( đ.p.c.m )

III. BÀI TẬP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH CHỮ NHẬT

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt nhau như trên hình vẽ. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.

Giải

 

*

Đặt

*

Áp dụng đặc thù góc trong cùng phía vào AB//CD, ta được:

 

*

Áp dụng đặc điểm về góc vào ΔADE , ta được: 

*
 , hay

 

*
 (đối đỉnh)

Chứng minh tương tự như ta được 

*
 .

Tứ giác EFGH gồm bốn góc vuông cho nên nó là hình chữ nhật.

Bài 2: Tứ giác ABCD bao gồm hai đường chéo cánh vuông góc cùng với nhau. Hotline E, F, G, H thứu tự là trung điểm của những cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? do sao?

Giải

*

Tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Giải thích: Từ trả thiết ta bao gồm EF, GH đồ vật tự là con đường trung bình của những tam giác ABC cùng ADC. 

Áp dụng định lí mặt đường trung bình vào hai tam giác này ta được:

*

Chứng minh tương tự, ta cũng rất được EH//FG//BD. (2)

 Từ (1) cùng (2) suy ra tứ giác EFGH có những cạnh đối song song vì thế nó là hình bình hành.

Gọi O là giao điểm của AC cùng với BD cùng I là giao điểm của EF với BD

Áp dụng đặc thù góc đồng vị vào các đường thẳng tuy nhiên song sinh hoạt trên và giả thiết ta có:

*

Như vậy hình bình hành EFGH gồm một góc vuông cho nên nó là hình chữ nhật.

Xem thêm: Kể Về 1 Chuyến Đi Chơi Xa Lớp 6, Please Wait

Bài 3: Cho tứ giasc ABCD có AC ⊥ BD. điện thoại tư vấn E, F, G, H thứu tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng tỏ rằng tứ giác EFGH là hình chữ nhật.