Chứng Minh Bất Đẳng Thức Lớp 9

     

Một số bất đẳng thức cơ bản và nâng cao đã được chứng minh thường gặp trong giải những bài tập BĐT vào chương trình Toán THCS.

Bạn đang xem: Chứng minh bất đẳng thức lớp 9

Để tất cả thể làm cho được các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá bán trị nhỏ nhất vào chương trình Toán cấp 2 những em học sinh có thể sử dụng những bất đẳng thức thường gặp dưới đây.

1. BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM (ARITHMETIC MEANS – GEOMETRIC MEANS)

Với những bộ số $ displaystylea_1;a_2;…;a_n$ không âm ta có:

$ displaystylefraca_1+a_2+…+a_nnge sqrta_1a_2…a_n$

Ta có $3$ dạng thường gặp của bất đẳng thức này là.

Dạng 1: $ displaystyle fraca_1+a_2+…+a_nnge sqrta_1a_2…a_n$

Dạng 2: $ displaystyle a_1+a_2+…+a_nge nsqrta_1a_2…a_n$

Dạng 3: $ displaystyle left( fraca_1+a_2+…+a_nn ight)^nge a_1a_2…a_n$

Dấu “=” xảy ra khi $ displaystyle a_1=a_2=…a_n$

Đối với bất đẳng thức này ta cần thành thạo kĩ thuật sử dụng bđt AM-GM mang lại $2$ số cùng $3$ số.

Xem thêm: Khi Nào Thêm S Hoặc Es - Chủ Ngữ + Động Từ Phù Hợp + Bổ Ngữ

2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ (BUNYAKOVSKY)

Dạng tổng quát: đến $ displaystyle a_1;a_2;…a_n;b_1;b_2;…b_n$ là $2n$ số thực tùy ý lúc đó:

Dạng 1: $ displaystyle (a_1^2+…+a_n^2)(b_1^2+…+b_n^2)ge (a_1b_1+…+a_n.b_n)^2$ (1)

Dạng 2: $ displaystyle sqrt(a_1^2+…+a_n^2)(b_1^2+…+b_n^2)ge |a_1b_1+…+a_n.b_n|$ (2)

Dạng 3: $ displaystyle sqrt(a_1^2+…+a_n^2)(b_1^2+…+b_n^2)ge a_1b_1+…+a_n.b_n$ (3)

Dấu “=” xảy ra ở (1)(2)$ displaystyle Leftrightarrow fraca_1b_1=…=fraca_nb_n$

Dấu “=” xảy ra ở (3)$ displaystyle Leftrightarrow fraca_1b_1=…=fraca_nb_nge 0$

Quy ước mẫu bằng $0$ thì tử bằng $0$

3. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ DẠNG ENGEL(SCHWARZ)

Cho $ displaystyle a_1;a_2;…a_n;b_1;b_2;…b_n$ là các số >0

Ta có:$ displaystyle fracx_1^2a_1+fracx_2^2a_2+…+fracx_n^2a_nge frac(x_1+x_2+…+x_n)^2a_1+a_2+…+a_n$

Dấu “=” xảy ra khi$ displaystyle fracx_1a_1=fracx_2a_2…=fracx_na_n$

4. BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV (TRÊ- BƯ-SÉP)

Dạng tổng quát:

Nếu $ displaystyle left{ eginarray*20l a_1ge a_2ge …ge a_n \ b_1ge b_2ge …ge b_n endarray ight.$

Hoặc $ displaystyle left{ eginarray*20l a_1le a_2le …le a_n \ b_1le b_2le …ge b_n endarray ight.$

Dạng 1:$ displaystyle fraca_1.b_1+a_2.b_2+…+a_n.b_nnge fraca_1+a_2+…+a_nn.fracb_1+b_2+…+b_nn$

Dạng 2:

$ displaystyle n(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)ge (a_1+a_2+…+a_n)(b_1+b_2+…+b_n)$

Nếu $ displaystyle left{ eginarray*20l a_1le a_2le …le a_n \ b_1ge b_2ge …ge b_n endarray ight.$

hoặc$ displaystyle left{ eginarray*20l a_1ge a_2ge …ge a_n \ b_1le b_2le …le b_n endarray ight.$

Dạng 1:

$ displaystyle fraca_1.b_1+a_2b_2+…+a_n.b_nnle fraca_1+a_2+…+a_nn.fracb_1+b_2+…+b_nn$

Dạng 2:

$ displaystyle n(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)le (a_1+a_2+…+a_n)(b_1+b_2+…+b_n)$

Bất đẳng thức Chebyshev ko được sử dụng trực tiếp cơ mà phải chứng minh lại bằng giải pháp xét hiệu

Bất đẳng thức Chebyshev đến dãy số sắp thứ tự, vày đó nếu các số chưa sắp thứ tự ta phải giả sử gồm quan hệ thứ tự giữa những số.

5. BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI

Với$ displaystyle x>-1;rge 1vee rle 0Rightarrow (1+x)^rge 1+rx$

Nếu$ displaystyle 1>r>0$ thì$ (1+x)^rle 1+rx$

Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp hoặc sử dụng bất đẳng thức AM-GM.

6. BẤT ĐẲNG THỨC NETBITT

Ở đây bản thân chỉ nêu dạng thường dùng.

Xem thêm: Tiểu Bạch Thỏ Em Chạy Đâu Cho Thoát, Tiểu Bạch Thỏ, Em Chạy Đâu Cho Thoát

Với $x,y,z >0$

Bất đẳng thức Netbitt 3 biến:

$ displaystyle fracxy+z+fraczx+y+fracyx+zge frac32$

Dấu “=” xảy ra lúc $x=y=z>0$

BĐT Netbitt 4 biến:

$ displaystyle fracab+c+fracbd+c+fraccd+a+fracda+bge 2$

Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c=d>0$

7. BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH CỘNG – TRUNG BÌNH ĐIỀU HÒA AM-HM (ARITHMETIC MEANS – HAMONIC MEANS)

Nếu $ a_1,a_2,…,a_n$ là những số thực dương thì

$ displaystyle fraca_1+a_2+…+a_nnge fracnfrac1a_1+frac1a_2+…+frac1a_n$

Dấu “=” xảy ra lúc $ a_1=a_2=…=a_n$

8. BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR

Dạng thường gặp:

Cho $a, b, c$ là những số ko âm

$ (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)le abc$

$ a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)ge 0$với r là số thực dương

Đẳng thức xảy ra lúc $a=b=c$ hoặc $a=0$ với $b=c$ và những hoán vị.

9. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Với mọi số thực $x, y$ ta gồm $ |x+y|le |x|+|y|$

Đẳng thức xảy ra khi $x, y$ thuộc dấu tuyệt $ xyge 0$

Với mọi số thực $x, y$ ta gồm $ |x-y|ge |x|-|y|$

Dấu “=” xảy ra khi cùng chỉ khi$ y(x-y)ge 0$

10. BẤT ĐẲNG THỨC MINCOPXKI

Với $2$ bộ $n$ số $ a_1,a_2,…,a_m$ và $ b_1,b_2,…,b_m$ thì :

Dạng 1:

$sqrta_1^2+b_1^2+sqrta_2^2+b_2^2+ldots+sqrta_m^2+b_m^2 geq sqrtleft(a_1+a_2+ldots+a_m ight)^2+left(b_1+b_2+ldots+b_m ight)^2$

Dạng 2: cho $x, y, z, a, b, c$ là các số dương ta có:

$sqrt<4>a b c+sqrt<4>x y z leq sqrt<4>(a+x)(b+y)(c+z) sqrta c+sqrtb d leq sqrt(a+b)(c+d)$