CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ CEVA

     

Định lý Ceva là 1 trong những định lý phổ cập trong hình học cơ bản, được phát biểu như sau:

Khi ta mang đến tam giác ABC và các điểm D, E, F lần lượt nằm trên những cạnh BC, CA, AB. Lúc ấy thì các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy khi và chỉ còn khi: DBDC.ECEA.FAFB=1

*

2. Minh chứng định lý Ceva

Giả sử ta vẫn có AD,BE,CF đồng quy trên điểm O

Khi đó ta gồm :

*

Vậy ta tất cả điều cần chứng minh.

Bạn đang xem: Chứng minh định lý ceva

3. Chứng minh định lý Ceva đảo

Giả sử ta sẽ có những điểm D,E,F thỏa mãn 

*

Gọi O là giao điểm của AD,BE và F′ là giao điểm của AB,CO

Theo phần thuận minh chứng ở trên thì ta bao gồm :

*

Vậy F ≡ F′ hay nói cách khác thì AD,BE,CF đồng quy

Như vậy ta đã chứng minh được cả hai chiều của Đ/L Ceva. Trong một vài bài toán, chúng ta cần vận dụng linh hoạt cả chiều thuận tương tự như chiều đảo của định lý để xử lý bài toán nhanh gọn.

Ví dụ: Cho tam giác ABC và mặt đường tròn trọng điểm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BCm CA, AB lần lượt tại D, E, F. Call D’, E’, F’ lần lượt là vấn đề đối xứng của D, E, F qua I. Chứng tỏ rằng AD’, BE’, CF’ đồng quy.

Lời giải: 

*

Xét tam giác ABC cùng với 3 đoạn thẳng Ceva AD, BE, CF đồng quy. Gọi I, J, K theo trang bị tự là trung điểm của chúng. M, N, p. Lần lượt là trung điểm của những cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Ta dễ dàng dàng minh chứng được 3 điểm I, J, K nằm trên 3 cạnh của tam giác MNP. Vào tam giác MNP xét tỉ sốK

*

Từ kia theo định lí Ceva, ta gồm MI, NJ, pk đồng quy (đpcm)

4. Định lý Ceva dạng lượng giác

Một dạng không giống của ĐL Ceva chính là định lý Ceva dạng lượng giác tốt định lý Ceva dạng sin. Ceva dạng lượng giác thường xuyên được áp dụng cho ba đường trực tiếp mà các điểm khác đỉnh của tam giác không nằm trên các cạnh của tam giác đó. Định lý được tuyên bố như sau:

Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P là ba điểm tương ứng nằm trên bố cạnh BC,CA,AB của tam giác. Lúc đó, tía đường thẳng AM,BN,CP đồng quy khi còn chỉ khi sin∠MABsin∠MAC.sin∠NBCsin∠NBA.sin∠PCAsin∠PCB=1

*

Chứng minh:

Áp dụng định lý sin cho các tam giác ABM và ACM ta gồm :

BM = ABsin∠MABsin∠AMB

MC = ACsin∠MACsin∠AMC

Vì sin∠AMB = sin∠AMC đề xuất suy ra BMMC = ABAC.sin∠MABsin∠MAC (1)

Tương tự CNNA = BCAB.∠sinNBCsin∠NBA; APPB=ACBC.sin∠PCAsin∠PCB (2)

Ba con đường thẳng AM,BN,CP đồng quy nên theo định lý Ceva có BMMC.CNNA.APPB = 1 (3)

Từ (1),(2) và (3) ta có

sin∠MABsin∠MAC.sin∠NBCsin∠NBA.sin∠PCAsin∠PCB = 1 

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC và ba đường thẳng AD,BE,CF đồng quy tại O với D,E,F lần lượt ở trên BC,CA,AB.

Xem thêm: Mã Đề 312 Môn Lịch Sử - Đề Và Đáp Án Môn Sử Mã Đề 312 Thi Thptqg 2017

Gọi X,Y,Z lần lượt là hình chiếu của D,E,F lên EF,FD,ED. Chứng tỏ rằng AX,BY,CZ đồng quy.

Cách giải:

*

Ta đang kí hiệu D = ∠FDE,E=∠FED,F=∠DFE

Ta có: FXEX = SAFXSAEX = AF.AX.sin∠FAX.AE.AX.sin∠EAX=AFAE.sin∠FAXsin∠EAX

Mặt không giống ta cũng có: FXEX=tanF.DXtanE.DX=tanFtanE

Từ đó suy ra:

AFAE.sin∠FAXsin∠EAX=tanFtanE⇔sin∠FAXsin∠EAX=tanFtanE.AEAF

Làm giống như như vậy và nhân lại, ta được:

sin∠FAXsin∠EAX.sin∠ECZsin∠DCZ.sin∠DBYsin∠FCY=1.AFBF.BDCD.CEAE

Theo định lý Ceva đến tam giác ABC, vì AD,BE,CF đồng quy cần ta có

AFBF.BDCD.CEAE=1

Như vậy ta được:

sin∠FAXsin∠EAX.sin∠ECZsin∠DCZ.sin∠DBYsin∠FCY = 1

Theo định lý Ceva dạng sin ta có AX,BY,CZ đồng quy.

5. Ứng dụng định lí Ceva 

Bài 1: Cho tam giác ABC.Gọi D là trung điểm của BC, E cùng F theo lần lượt là 2 điểm nằm tại AB, AC làm thế nào cho AD, BF, CE đồng quy. Chứng minh rằng EF // BC?

Lời giải

*

Nhận xét: Trong bài xích tập trên giả dụ dùng những dấu hiệu nhận biết hai mặt đường thẳng tuy vậy song thông thường được sử dụng thì rất trở ngại trong chứng minh. Ở đây ta sử dụng định lí Ceva sẽ dẫn mang đến tỉ số hữu dụng là (EA/EB = FA/FC) và vận dụng định lí Ta-let nhằm thu được tác dụng hay với ngắn gọn.

Xem thêm: Các Công Việc Chăm Sóc Rừng Sau Khi Trồng Là Gì, Bài 27: Chăm Sóc Rừng Sau Khi Trồng

Bài 2: đến tam giác ABC, hotline M là chân đường vuông góc kẻ tự A ra đường phân giác của góc BCA. N và L theo lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ bỏ A và C ra đường phân giác của góc ABC, gọi F là giao của MN và AC, E là giao của BF cùng CL, D là giao của BL và AC, minh chứng rằng DE // MN?

*

Bài 3: cho tam giác ABC và mặt đường tròn trung tâm I nội tiếp tam giác xúc tiếp với những cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi D’, E’, F’ lần lượt là điểm đối xứng của D, E, F qua I. Chứng tỏ rằng AD’, BE’, CF’ đồng quy.