TOÁN CAO CẤP 1 GIỚI HẠN HÀM SỐ

     

BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng Mục tiêuTrên cơ sở các kiến thức của lịch trình phổ thông, mục đích của bài xích này là ôn tập, hệ thống hóa và nâng cao các kiến thức và kỹ năng về hàm số một đổi thay số: Giới hạn, tính liên tiếp của hàm số. Lí giải học • Đây là bài học nhằm mục tiêu ôn tập và khối hệ thống hóa lại các kiến thức toán học vẫn học trong chương trình phổ thông nên bạn cần đọc kỹ lại các triết lý về hàm số....




Bạn đang xem: Toán cao cấp 1 giới hạn hàm số

*

bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng mục tiêu • đọc được có mang hàm số, giới hạn, sựBạn bắt buộc học với làm bài bác tập của bài nàytrong nhì tuần, từng tuần khoảng 3 mang lại 4 liên tụcgiờ đồng hồ. • Giải được những bài tập về hàm số, giới hạn, tính liên tiếp • Áp dụng phần mềm toán để giám sát với hàm số, giới hạnNội dungTrên cơ sở những kiến thức của công tác phổ thông, mục đích của bài này là ôn tập, hệ thốnghóa và nâng cấp các kỹ năng và kiến thức về hàm số một đổi mới số: Giới hạn, tính liên tục củahàm số.Hướng dẫn học• Đây là bài xích học nhằm mục tiêu ôn tập và hệ thống hóa lại những kiến thức toán học sẽ học vào chương trình đa dạng nên bạn phải đọc kỹ lại các kim chỉ nan về hàm số, giới hạn.• sau khoản thời gian đọc kỹ triết lý bạn đề xuất làm bài xích tập càng nhiều càng giỏi để củng cầm và cải thiện kiến thức. 1 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tục1.1. Hàm số một trở thành số1.1.1. Định nghĩa hàm số một thay đổi số mang đến X là tập phù hợp khác trống rỗng của R . Ta hotline ánh xạ f :X → R y = f (x) x là hàm số một thay đổi số trên tập hòa hợp X , trong những số ấy x là thay đổi số độc lập, y là đại lượng dựa vào hay hàm số của x . Tập thích hợp X gọi là miền khẳng định của hàm số f . Tập hợp f (X) = y ∈ , y = f (x) : x ∈ X điện thoại tư vấn là miền quý giá của f giả dụ hàm số một trở nên số mang lại trong dạng biểu thức: y = f (x) nhưng không nói gì thêm thì ta phát âm miền xác minh của hàm số là tập hợp phần nhiều giá trị thực của biến số x tạo nên biểu thức có nghĩa. Lấy ví dụ như 1: Biểu thức y = 1 − x 2 xác định khi : 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. Cho nên vì thế miền khẳng định của hàm số y = 1 − x 2 là < −1,1> . Thuận lợi thấy rằng miền quý hiếm của hàm y là <0,1>. Miền khẳng định của một hàm số rất có thể gồm các tập bé rời nhau, trên mỗi tập con đó lại có một quy tắc riêng để xác minh giá trị của hàm số. Hàm số rất có thể được khẳng định bởi nhiều công thức khác biệt tùy ở trong vào giá trị của biến. Lấy ví dụ 2: ⎧ x 2 + 1 lúc x ≥ 0 f (x) = ⎨ ⎩1 − 2x lúc x bài bác 1: Hàm số, giới hạn và thường xuyên CHÚ Ý: Đồ thị của hàm số có thể là tập hợp những điểm tách rạc, cũng rất có thể gồm một số cung ngay tắp lự Ví dụ 3: ⎧ ⎪x 2 lúc x ≤ 0 ⎪ Đồ thị của hàm số y = ⎨ x lúc 0 1 ⎩2 Hình 1.1 câu hỏi vẽ phác thảo đồ thị của hàm số f với miền khẳng định là một khoảng số thực thường được xác định theo trình từ bỏ như sau: Lấy các số x1 , x 2 ,..., x n từ bỏ miền xác minh của hàm số (càng những điểm và những điểm càng ngay gần nhau càng tốt). • Tính các giá trị tương ứng của hàm số y1 = f (x1 ),..., y n = f (x n ) • khẳng định các điểm • M1 = (x1 , y1 ),..., M n = (x n , y n ) • Nối những điểm đã khẳng định nói trên ta tất cả hình ảnh phác họa của đồ gia dụng thị hàm số. Giải pháp vẽ như bên trên không trả toàn đúng chuẩn mà chỉ cho dáng vẻ của đồ vật thị hàm số. Đồ thị của hàm số được dùng để làm minh họa Hình 1.2 các đặc trưng cơ bản, sự nhờ vào của quý giá của hàm số và thay đổi số. Quan sát vào đồ gia dụng thị hoàn toàn có thể dễ dàng quan sát xu hướng biến đổi của quý hiếm hàm số khi biến tự do thay đổi.1.1.3. Hàm số 1-1 điệu. Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn1.1.3.1. Hàm số solo điệu Hàm số f (x) khẳng định trong khoảng tầm (a, b) • Được call là 1-1 điệu tăng trong tầm (a, b) nếu với đa số x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tiếp (Nếu đk trên vẫn đúng vào khi bỏ dấu đẳng thức, tức là: ∀x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 f (x 2 ) thì ta nói hàm f giảm ngặt (hay nghịch biến) trên (a, b) ). Hàm số f được call là đối kháng điệu bên trên (a, b) ví như nó chỉ solo điệu tăng hoặc chỉ solo điệu giảm trong vòng này. Đồ thị của hàm số tăng là một đường “đi lên”, ngược lại đồ thị hàm số sút là con đường “đi xuống” nếu chú ý từ trái quý phái phải. Hình 1.31.1.3.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f xác minh trên một tập thích hợp D đối xứng ( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ) , ví dụ điển hình khoảng (−l, l) , đoạn < −a, a > , tập (−b, −a) ∪ (a, b)(0 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục còn hàm số h(x) = x 3 , k(x) = sin x là các hàm lẻ trên R vì: ⎫ h(− x) = ( − x)3 = ( − x)3 = −h(x) ⎬ ∀x ∈ R k(− x) = sin( − x) = − sin x = −k(x) ⎭ Đồ thị của hàm chẵn nhận trục Oy làm cho trục đối xứng, còn đồ gia dụng thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ O làm vai trung phong đối xứng (hình 1.4) Hàm chẵn: Hàm lẻ:1.1.3.3. Hàm số tuần hoàn Định nghĩa: Hàm số f được gọi là tuần hoàn trên miền xác định D (thông thường xuyên xét D ≡ R ) nếu tồn tại số thực p ≠ 0 sao cho: ∀x ∈ D thì x ± phường ∈ D cùng f (x + p) = f (x). Số phường gọi là chu kỳ của hàm f . 5 bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục Nếu trong những số p nói trên, tồn tại một vài dương nhỏ tuổi nhất – cam kết hiệu do T – thì T được hotline là chu kỳ cơ phiên bản của f . Ví dụ như 5: các hàm sin x, cos x các tuần hoàn với chu kỳ 2π vì: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x ∀x ∈ R các hàm tgx,cotgx phần lớn tuần trả với chu kỳ luân hồi π vì: π tg ( x + π ) = tgx,∀x ≠ + kπ;cotg(x + π) = cotg,∀x ≠ kπ 2 hơn nữa các chu kỳ nói trên hồ hết là các chu kỳ cơ bản. Thật vậy, chẳng hạn xem xét hàm y = sin x , trả sử trường thọ số dương T bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tiếp Hàm số g biến chuyển x thành y theo nguyên tắc trên hotline là (hàm số) vừa lòng của nhì hàm f cùng ϕ . Ký hiệu: g = f (ϕ(x)) . (Nhớ rằng trong bí quyết ký hiệu trên, hàm nào che khuất lại có ảnh hưởng trước đến trở nên x ). Ví dụ 6: Hàm số y = sin 5 x là hàm vừa lòng của hai hàm y = u 5 cùng u = sin x . Cách nói sau cũng được chấp nhận: “Hàm số g(x) = sin 5 x là hàm phù hợp của nhị hàm f (x) = x 5 và ϕ(x) = sin x ”.1.1.5. Hàm số ngược Xét hàm số y = f (x) có miền khẳng định X , miền quý hiếm Y = f (X) . Nếu như với mỗi y 0 ∈ Y tồn tại độc nhất vô nhị x 0 ∈ X nhằm f (x 0 ) = y0 (hay phương trình f (x) = y0 có nghiệm tốt nhất trong X ) thì quy tắc biến đổi mỗi số y ∈ Y thành nghiệm nhất của phương trình f (x) = y là 1 trong hàm số đi trường đoản cú Y đến X hotline là hàm ngược của hàm f , cam kết hiệu f −1 f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y. Lúc đó, dễ dàng thấy rằng f là hàm ngược của f −1 . Ví dụ 7: Hàm số y = x 3 ( R → R ) có hàm ngược là hàm số x = 3 y ( R → R ) vì: • y = x3 ⇔ x = 3 y Hàm số y = a x ( a > 0, a ≠ 1) ( R → R* ) có hàm ngược là hàm số x = log a y + • ( R* → R ) vì: + y = a x ⇔ x = log a x. • những hàm lượng giác quen thuộc đều phải có hàm ngược với cùng một cách ký kết hiệu: ⎛ ⎡ π π⎤ ⎞ Hàm số y = sin x ⎜ ⎢ − , ⎥ → < − 1,1> ⎟ bao gồm hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược o ⎝⎣ 2 2⎦ ⎠ đó là: ⎛ ⎡ π π⎤⎞ x = arcsin y ⎜ < − 1,1> → ⎢ − , ⎥ ⎟ . ⎣ 2 2⎦⎠ ⎝ (<0, π> → < − 1,1>) Hàm số y = cos x có hàm ngược, ta ký kết hiệu hàm ngược o đó là: x = arccos y (< − 1,1> → < 0, π>) . ⎛⎛ π π ⎞ ⎞ Hàm số y = tgx ⎜ ⎜ − , ⎟ → R ⎟ gồm hàm ngược, ta cam kết hiệu hàm ngược kia là: o ⎝⎝ 2 2 ⎠ ⎠ ⎛ ⎛ π π ⎞⎞ x = arctgy ⎜ → ⎜ − , ⎟ ⎟. ⎝ 2 2 ⎠⎠ ⎝ 7 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục ( ( 0, π ) → R ) có hàm ngược, ta ký kết hiệu hàm ngược đó là: Hàm số y =cotgx o x = arccotgy ( → ( 0.π ) ) ( R → ( 0, π ) ) CHÚ Ý : • vị thường ký hiệu x nhằm chỉ biến độc lập và y nhằm chỉ biến phụ thuộc nên khi trình diễn hàm ngược thay bởi vì x = f −1 (y) tất cả viết y = f −1 (x) . Chẳng hạn y = log a x là hàm ngược của hàm: y = a x • Đồ thị của nhì hàm ngược nhau không đổi khác như khi đổi vai trò x,y cho nhau thì nó đối xứng nhau qua con đường phân giác vật dụng nhất. Thiệt vậy, hotline (C) với (C’) lần lượt là vật dụng thị của hai hàm f (x) với f −1 (x) thì theo định nghĩa: M = (x, y) ∈ (C) ⇔ M " = (y, x) ∈ (C ") Hình 1.6: Hàm mũ, hàm logarit1.1.6. Những hàm số sơ cấp1.1.6.1. Những hàm số sơ cung cấp cơ phiên bản • Hàm lũy thừa y = x α (α ∈ R) Miền khẳng định (MXĐ) của hàm nhờ vào vào số α . O nếu như α ≥ 0 , MXĐ là R . O nếu như α nguyên âm. MXĐ là R 0 . 1 ví như α = , p. ∈ R* thì MXĐ là R + nếu o phường p chẵn cùng R nếu p. Lẻ. Hình 1.7: Đồ thị hàm số y = x 3 nếu α vô tỷ, MXĐ được quy mong là R + . O • Hàm mũ: f (x) = a x (0 1 với nghịch trở nên nếu 0 1 và nghịch phát triển thành nếu o 0 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tiếp y = cos x : gồm MXĐ là R ,o MGT < − 1,1> ; cho khớp ứng mỗi số thực x với hoành độ điểm màn trình diễn cung x radian trên phố tròn lượng giác. Hàm cos là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản 2π . Y = tgx : tất cả MXĐ lào π ⎧ ⎫ R ⎨(2k+1) , k ∈ Z ⎬ , ⎩ 2 ⎭ MGT R ; cho tương xứng mỗi số thực x cùng với tung độ của giao Hình 1.8: Quy tắc khẳng định các lượng chất giác điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên phố tròn lượng giác) cùng với trục rã là mặt đường thẳng gồm phương trình: x = 1 . Hàm tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ phiên bản π . Y = cotgx: tất cả MXĐ là R kπ, k ∈ Z , MGT R ; cho khớp ứng mỗi số thực xo cùng với hoành độ của giao điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên phố tròn lượng giác) cùng với trục cotg là mặt đường thẳng có phương trình y = 1 . Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần trả với chu kỳ luân hồi cơ phiên bản π . Hình 1.9: Đồ thị những hàm số lượng giác 9 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục • hàm vị giác ngược ⎡ π π⎤ y = arcsin x : gồm MXĐ là < − 1,1> , MGT ⎢ − , ⎥ là hàm ngược của hàm sin. O ⎣ 2 2⎦ Hàm y = arcsin x là hàm lẻ, đồng biến. Y = arccos x : có MXĐ là < − 1,1> , MGT < 0, π> là hàm ngược của hàm cos. O Hàm y = arccos x là hàm nghịch biến. O ⎛ π π⎞ y = arctgx : gồm MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm tg. O ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arctgx là hàm lẻ, đồng biến. ⎛ π π⎞ y = arccotgx : bao gồm MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm cotgx. O ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arccotgx là hàm lẻ, nghịch biến. Hình 1.10: Đồ thị những hàm lượng giác ngược1.1.6.2. Định nghĩa Hàm số sơ cấp là 1 trong hàm số được thành lập từ những hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hằng cùng với một vài hữu hạn những phép toán số học tập (cộng, trừ, nhân chia) và các phép toán rước hàm hợp. Lấy ví dụ 8: những hàm số sau hầu hết là những hàm sơ cấp: • Hàm bậc nhất: y = ax + b .10 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục • Hàm bậc hai: y = ax 2 + bx + c . ) ( • Hàm lôgarit: log a x + x 2 + 1 . 1 + sin x • lượng chất giác: y = + arctg(2x + 3) . 1− x2 x • Hàm phân thức hũu tỷ: y = . 1− x21.2. Dãy số và số lượng giới hạn của hàng số1.2.1. Khái niệm1.2.1.1. Dãy số Ta điện thoại tư vấn dãy số là một trong tập hợp các số (gọi là những số hạng) được viết theo một đồ vật tự, giỏi được đánh số bằng những số từ bỏ nhiên. Để cho một dãy số, tín đồ ta rất có thể dùng các cách thức như liệt kê, công thức tổng thể và bí quyết truy hồi. • Liệt kê: Viết tất cả các số hạng theo như đúng thứ trường đoản cú (nếu ko viết được hết thì cần sử dụng dấu “…” để biểu thị dãy còn thêm tục). • cách làm tổng quát: chứng thật cách xác minh một số hạng ngẫu nhiên chỉ nên biết thứ từ bỏ của số hạng đó trong dãy. • cách làm truy hồi: chứng thực cách xác minh một số hạng khi biết những số hạng ngay lập tức trước nó trong dãy. • Liệt kê chỉ có chân thành và ý nghĩa mô tả và tương thích nhất với dãy hữu hạn, rất có thể xem là cách biểu diễn bằng quy nạp không trả toàn. Còn hai phương pháp kia đảm bảo an toàn có thể kiếm được số hạng với sản phẩm tự ngẫu nhiên trong dãy. Ví dụ như 9: hàng Fibonacci cùng 3 cách màn biểu diễn nêu bên trên • Liệt kê: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … • phương pháp tổng quát: Số hạng thiết bị n là: n n ⎛ 1− 5 ⎞ ⎛ 1+ 5 ⎞ ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ • công thức truy hồi: nhị số hạng đầu tiên đề bằng 1, tiếp đó, số hạng sau được xem bằng tổng hai số hạng tức thì trước. Công thức bao quát của hàng số là biện pháp biểu diễn rất tốt để hoàn toàn có thể định nghĩa hàng số. Nhờ nó, dãy số được định nghĩa một phương pháp hết sức đơn giản và dễ dàng mà chặt chẽ. Định nghĩa: dãy số là 1 trong những ánh xạ (hàm số) tất cả miền xác minh là (hoặc một tập con những số từ nhiên tiếp tục của ) cùng lấy quý giá trong tập những số thực R . Ta thường ký kết hiệu dãy số do x n n =1 giỏi gọn hơn x n . ∞ 11 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Ví dụ 10: ∞ ⎧1⎫ ⎧11 1⎫ ⎨ ⎬ = ⎨1, , ,..., ,...⎬ (A) ⎩ n ⎭n =1 ⎩ 2 3 n⎭ (−1) = −1,1, −1,..., (−1) n ,... N∞ (B) n =1 n = 1, 4,9,..., n 2 ,...

Xem thêm: Em Yêu Anh Đấy Thì Sao Nào, Mượn Rượu Tỏ Tình (Acoustic Cover)



Xem thêm: Các Phương Pháp Phân Tích Các Đa Thức Thành Nhân Tử Và Bài Tập Vận Dụng

2∞ (C) n =1 ∞ ⎧n⎫ ⎧1 2 3 ⎫ n ⎬ = ⎨ , , ,..., (D) ,...⎬ ⎨ ⎩ n + 1 ⎭n =1 ⎩ 2 3 4 n +1 ⎭1.2.1.2. Hàng tăng, hàng giảm, dãy bị chặn Dãy x n gọi là • hàng tăng nếu x n x n +1 ∀n ∈ • Dãy đối kháng điệu nếu như nó là dãy tăng hoặc hàng giảm. • Bị chặn trên trường hợp tồn tại số M làm thế nào để cho x n ≤ M, ∀n ∈ • Bị chặn dưới ví như tồn tại số m sao cho x n ≥ m, ∀n ∈ • Bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị ngăn dưới. Trong ví dụ 10 • dãy (A) là dãy số giảm, bị chặn dưới vì chưng 0 với bị chặn trên vị 1. • hàng (B) không solo điệu, bị chặn dưới vì chưng −1 cùng bị ngăn trên vày 1. • dãy (C) là dãy tăng, bị ngăn dưới vì chưng 1 không bị chặn bên trên nên không biến thành chặn. • dãy (D) là hàng tăng, bị ngăn dưới bởi vì 0 cùng bị chặn trên do 1.1.2.2. Giới hạn của dãy số ∞ ⎧ 1⎫ ⎧1 1 1⎫ Xét dãy số ⎨ x n = n ⎬ = ⎨ , 2 ,..., n ,...⎬ . Khoảng cách giữa x n và 0 là: 2 ⎭n =1 ⎩ 2 2 2 ⎩ ⎭ 1 xn − 0 = 2n Ta thấy: cho trước một trong những ε > 0 nhỏ bé tùy ý thì sẽ kiếm được một số N làm sao để cho ∀n > N thì khoảng cách giữa x n và 0 sẽ nhỏ nhiều hơn số ε đó. 1 Chẳng hạn, cho trước khoảng ε = 0, 05 thì chỉ cần n = 8 thì x n − 0 = 0 mang đến trước (bé tùy ý), sống thọ số tự nhiên và thoải mái n 0 sao để cho với phần đa n > n 0 thì x n − a bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và thường xuyên Ta viết: lim x n = a tốt x n → a khi n → ∞ . N →∞ hàng x n được hotline là dãy quy tụ nếu trường thọ số a để lim x n = a . Vào trường thích hợp n →∞ ngược lại, ta nói hàng phân kỳ. Trong tư tưởng trên, số n 0 phụ thuộc vào vào ε nên ta viết n 0 = n 0 (ε) . Lấy ví dụ 11: 1 = 0. Lim n →∞ n thật vậy, ta có: 1 xn − 0 = . N ⎡1 ⎤ Với từng ε > 0 bất kỳ chỉ đề xuất chọn n 0 = ⎢ ⎥ + 1 thì khi n > n 0 có ngay ⎣ε⎦ 1 1 xn − 0 = 0 mang đến trước (lớn tùy ý), mãi mãi số tự nhiên n 0 làm thế nào để cho với hầu hết n > n 0 thì x n > M ; ta cũng viết lim x n = ∞ với là dãy phân kỳ. N →∞ Trên đây chỉ phát biểu định nghĩa số lượng giới hạn vô cùng nói chung, ta rất có thể phát biểu chi tiết hơn về giới hạn +∞, −∞ .1.2.3. Tiêu chuẩn tồn trên giới hạn1.2.3.1. Tính nhất của số lượng giới hạn Định lý: ví như một hàng có số lượng giới hạn (hữu hạn) thì • Dãy đó là dãy bị chặn . • số lượng giới hạn là duy nhất.1.2.3.2. Nguyên tắc giới hạn kẹp nếu có ba dãy số x n , y n , z n thỏa mãn: • x n ≤ yn ≤ zn lim x n = lim z n = a ( a có thể hữu hạn, +∞ hoặc −∞ ) thì y n có giới hạn và • n →∞ n →∞ lim y n = a . N →∞1.2.3.3. Định lý Weierstrass hàng số tăng cùng bị ngăn trên (hoặc bớt và bị ngăn dưới) thì hội tụ. 13 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục1.2.4. Những định lý về giới hạn của hàng số mang đến x n , y n là các dãy có giới hạn hữu hạn. Dùng định nghĩa tất cả thể minh chứng các kết quả sau: lim(x n ± y n ) = lim x n ± lim y n n →∞ n →∞ n →∞ lim(x n y n ) = lim x n lim y n n →∞ n →∞ n →∞ x n lim x n = n →∞ (khi lim y n ≠ 0) . Lim n →∞ y lim y n n →∞ n n →∞ để ý rằng khi cả x n , y n có các giới hạn vô cực thì nhìn bao quát không áp dụng 0∞ , , ∞ − ∞, 0.∞ . Khi ấy ta được các công dụng nói trên. Những dạng vô định thường chạm chán là 0∞ nên dùng những phép đổi khác để khử dạng vô định. Lấy ví dụ 12: 12 1+ − 2 ⎛∞⎞ n2 + n − 2 n n = 1. = lim ⎜ ⎟ : n →∞ lim 1 ⎝∞⎠ 2n + 1 2 2 n →∞ 2+ 2 n ⎛ ⎞ 2 3− ⎜ ⎟3 ) ( ⎛ ⎞ 3n − 2 n = lim ⎜ ⎟= . (∞ − ∞) : lim n 2 + 3n − 2 − n = lim ⎜ ⎟ n →+∞ ⎜ ⎟2 32 ⎝ n + 3n − 2 + n ⎠ n →+∞ n →+∞ 2 ⎜ 1+ − 2 +1 ⎟ ⎝ ⎠ nn1.3. Giới hạn và sự tiếp tục của hàm số1.3.1. Định nghĩa1.3.1.1. Định nghĩa (giới hạn hàm số) giả sử hàm số f (x) xác minh ở ở bên cạnh điểm x 0 (có thể trừ tại x 0 ). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là A lúc x dần tới x 0 nếu: với đa số số ε > 0 mang đến trước, phần nhiều tồn tại một số δ > 0 sao cho khi: x − x 0 x 0 hay x bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tiếp • quy trình x tiến đến x 0 về phía mặt phải, tức là x → x 0 với điều kiện x > x 0 , được kí hiệu là: x → x 0 + 0 hoặc đơn giản dễ dàng hơn là x → x 0 + • quá trình x tiến mang lại x 0 về phía mặt trái, tức là x → x 0 với điều kiện x x 0 • số lượng giới hạn bên trái: lim f (x) = f (x) . Lim x →x0 − x → x 0 ,x b (L b (f (x) g(x) ) với mọi x ∈ {x ∈ R : 0 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và thường xuyên lim ( f (x)g(x) ) = L1L 2 • x →a f (x) L1 = • khi L 2 ≠ 0 . Lim g(x) L 2 x →a Định lý: mang sử ϕ( x) và f (u) thỏa mãn nhu cầu các điều kiện: lim ϕ(x) = b và lim f (u) = f ( b ) = L • x →a u →b • vĩnh cửu số δ > 0 làm thế nào để cho khi x ∈ (a − δ;a + δ) và x ≠ a ta luôn luôn có: u = ϕ(x) ≠ b thì: lim f ( ϕ(x) ) = L . X →a Định lý: nếu như hàm số sơ cấp cho f (x) xác minh trong khoảng tầm chứa điểm x = a thì lim f (x) = f (a) . X →a Định lý: ví như tồn trên số δ > 0 làm thế nào cho u(x) ≤ f (x) ≤ v(x) với đa số x ∈ {x ∈ R : 0 0, lim g(x) = α . Lúc đó: lim < f (x) > g(x ) = bα . X →a x →a x →a lấy ví dụ như 13: 3x 2x − 1 ⎛ 2x − 1 ⎞ x −5 3x = 2 cùng lim = 3. ⎟ = 2 = 8 , vì lim 3 lim ⎜ x →∞ x + 1 x →∞ x − 5 ⎝ x +1 ⎠ x →∞ Định lý: ví như lim f (x) = 0 và g(x) là một hàm số bị ngăn thì lim f (x).g(x) = 0 . X →a x →a 1 1 = 0 do lim x 2 = 0 với sin là hàm bị chặn. Ví dụ: lim x 2 sin x x x →0 x →01.3.3. Khôn xiết lớn, khôn cùng bé1.3.3.1. Quan niệm • Đại lượng f(x) gọi là 1 trong vô cùng bé nhỏ (viết tắt là VCB) lúc x → a nếu như lim f (x) = 0 . X →a Ở đây, a hoàn toàn có thể là hữu hạn hay vô cùng. Tự định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra rằng nếu: f (x) → A khi x → a thì f (x) = A + α(x) trong các số đó α(x) là một trong những VCB khi x → a • Đại lượng F(x) gọi là một trong vô cùng khủng (viết tắt là VCL) khi x → a trường hợp lim F(x) = +∞ x →a16 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và thường xuyên 1 • hoàn toàn có thể dễ dàng thấy rằng ví như f(x) là 1 VCB không giống không khi x → a chính vậy VCL f (x) 1 và ngược lại nếu F(x) là 1 VCL không giống không khi x → a thì là 1 VCB F(x) khi x → a . Chú thích: • Một hàm hằng không giống không dù nhỏ dại bao nhiêu cũng không là một VCB lúc x → a • Một hàm hằng lớn bao nhiêu cũng không thể là một trong những VCL lúc x → a1.3.3.2. đặc thù • giả dụ f1 (x), f 2 (x) là hai vcb khi x → a thì f1 (x) ± f 2 (x), f1 (x).f 2 (x) cũng là những ngân hàng ngoại thương vietcombank khi x → a . • nếu f1 (x), f 2 (x) thuộc dấu và là hai VCL khi x → a thì f1 (x) + f 2 (x) cũng là một trong những VCL lúc x → a . Tích của hai VCL lúc x → a cũng là 1 trong những VCL lúc x → a .1.3.3.3. So sánh những vô cùng nhỏ nhắn • Bậc của những VCB Định nghĩa: đưa sử α( x), β(x) là hai ngân hàng ngoại thương vcb khi x → a . α(x) = 0 ; ta bảo rằng α( x) là vcb bậc cao hơn nữa β( x) . Nếu lim o β(x) x →a α(x) = ∞ ; ta bảo rằng α(x) là ngân hàng ngoại thương vcb bậc thấp rộng β(x) . Ví như lim o β(x) x →a α(x) = A (≠ 0, ≠ ∞) ; ta nói rằng α(x) cùng β(x) là hai ngân hàng ngoại thương vcb cùng bậc. Ví như lim o x → a β(x) α(x) ko tồn tại, ta nói rằng ko thể đối chiếu hai ngân hàng ngoại thương vietcombank α(x) cùng Nếu lim o x → a β(x) β( x) . Ví dụ như 14: 1 − cos x với 2x gần như là những vietcombank khi x → 0 . X x sin 2 sin 1 − cos x 2 = lim sin x .lim 1 . 2 =0 = lim Vì: lim x 2x x 2 2 x →0 x →0 x →0 2 nên 1 − cos x là ngân hàng ngoại thương vcb bậc cao hơn nữa 2x . Lấy ví dụ 15: 1 x.sin với 2x là những ngân hàng ngoại thương vcb khi x → 0 . X 1 1 x sin sin x = 1 lim sin 1 . X = lim Vì: lim 2x 2 2 x →0 x x →0 x →0 17 bài 1: Hàm số, giới hạn và thường xuyên 1 1 đề nghị x sin và 2x là hai ngân hàng ngoại thương khi x → 0 không tuy nhiên không mãi mãi lim sin x x x →0 so sánh được cùng với nhau. • VCB tương đương Định nghĩa: Hai ngân hàng ngoại thương vcb α ( x ) với β ( x ) không giống 0 khi x → a hotline là tương đương với nhau nếu như α(x) =1. Lim β(x) x →a Kí hiệu: α( x) ~ β ( x ) thừa nhận xét: 2VCB tương tự là ngôi trường hợp đặc trưng của 2 vietcombank cùng bậc. Định lý: giả dụ α(x) cùng β(x) là hai vcb khi x → a , α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) lúc x → a thì: α (x) α(x) = lim 1 lim . X → a β(x) x → a β (x) 1 α(x) β(x) thật vậy, vị α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) ; ta có: lim = 1; lim = 1. α1 (x) x → a β (x) x →a 11.3.3.4. Các vô cùng nhỏ xíu tương đương thường chạm chán Nếu α(x) → 0 khi x → a thì : ⎧sin α(x) ~ α(x), tgα(x)~α(x), ⎨ ⎩arcsinα(x) ~ α(x), arctgα(x) ~ α(x).1.3.4. Hàm số liên tục1.3.4.1. Định nghĩa f là một trong những hàm số xác định trong khoảng tầm (a, b), x 0 là một điểm ở trong (a, b) .Ta nói rằng hàm số f liên tục tại x 0 nếu: limf(x) =f(x0). (1.1) x→x0 ví như hàm số f không thường xuyên tại x 0 , ta nói rằng nó cách biệt tại x 0 . Nếu như đặt: x = x 0 + Δx, Δy = f (x) − f (x 0 ) thì đẳng thức (1.1) hoàn toàn có thể viết là: lim < f (x) − f (x 0 ) > = 0 giỏi lim Δy = 0 . X →x0 Δx →0 Chú thích: Ta cũng có thể nói rằng f thường xuyên tại x 0 ∈ (a, b) nếu: lim f (x) = f ( lim x) . X →x0 x →x0 ví dụ 16: Hàm số y = x 2 thường xuyên tại phần đông x 0 ∈ R . Thiệt vậy, ta có: y 0 = x 0 2 , y0 + Δy = (x 0 + Δx) 2 , Δy = (x 0 + Δx) 2 − x 0 2 = 2x 0 Δx + (Δx) 2 ; lim Δy = 2x 0 . Lim Δx + lim Δx. Lim Δx = 0. Δx → 0 Δx → 0 Δx → 0 Δx →0 tương tự như như vậy, tất cả thể minh chứng được rằng phần đông hàm số sơ cung cấp cơ bản đều thường xuyên tại hồ hết điểm ở trong miền xác định của nó.18 bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tiếp Định nghĩa: f(x) được điện thoại tư vấn là: liên tiếp trong khoảng (a, b) giả dụ nó thường xuyên tại mọi điểm của khoảng tầm đó. Liên tục trên đoạn < a, b > , nếu như nó liên tiếp tại hầu hết điểm của khoảng tầm (a, b) , đồng thời thường xuyên phải tại a (tức là lim f (x) = f (a) ) và tiếp tục trái tại b (tức là: lim f (x) = f (b) ). X →a + 0 x →b −01.3.4.2. Những phép toán về hàm thường xuyên Từ những định lý về giới hạn của tổng, tích, thương và từ tư tưởng của hàm số liên tục tại một điểm, hoàn toàn có thể dễ dàng suy ra: Định lý: nếu như f cùng g là nhị hàm số liên tiếp tại x 0 thì: • f (x) + g(x) thường xuyên tại x 0 • f (x).g(x) liên tiếp tại x 0 f (x) • tiếp tục tại x 0 giả dụ g(x 0 ) ≠ 0 . G(x) Định lý: giả dụ hàm số u = ϕ(x) thường xuyên tại x 0 , hàm số y = f (u) liên tục tại u 0 = ϕ(x 0 ) thì hàm số thích hợp y = (f ϕ)(x) = f < ϕ(x) > liên tục tại x 0 . Chứng minh: Ta bao gồm lim ϕ(x) = ϕ(x 0 ) = u 0 vì chưng ϕ liên tiếp tại x 0 . X →x0 Hàm số: y = f (u) liên tục tại u 0 . Vị đó: lim f (u) = f (u 0 ) u →u01.3.4.3. đặc điểm của hàm số liên tiếp Các định lý dưới đây (không chứng minh) đặt ra những tính chất cơ phiên bản của hàm số liên tục. Định lý: trường hợp hàm số f (x) liên tục trên đoạn < a; b > thì nó bị chặn trên đoạn đó, có nghĩa là tồn tại hai số m cùng M làm thế nào để cho m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ < a; b > . Định lý: nếu hàm số f (x) tiếp tục trên đoạn < a; b > thì nó đạt giá bán trị nhỏ tuổi nhất m và giá trị lớn nhất M của nó trên đoạn ấy, tức là tồn tại hai điểm x1 , x 2 sao cho: f (x 1 ) = m ≤ f (x) ∀x ∈ < a, b > ; f (x 2 ) = M ≥ f (x) ∀x ∈ < a, b > Định lý (về quý hiếm trung gian): nếu hàm số f (x) tiếp tục trên đoạn < a; b > ; m cùng M là những giá trị nhỏ dại nhất và lớn nhất trên đoạn đó thì với tất cả số μ nằm trong lòng m cùng M luôn luôn tồn tại ξ ∈ < a, b > sao cho: f ( ξ) = μ . Hệ quả: nếu f(x) liên tục trên < a, b > , f(a)f(b) bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tụcTÓM LƯỢC CUỐI BÀITrong bài này bọn họ nghiên cứu vãn ba vụ việc là:• Những sự việc cơ bạn dạng về hàm số một phát triển thành số• hàng số và giới hạn của hàng số• giới hạn của hàm sốPhần đầu tiên hệ thống hóa lại các khái niệm cơ bạn dạng về hàm số một vươn lên là số, một số trong những tính chấtcủa hàm số như tính đối kháng điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn. Tiếp theo, học viên sẽ tìm hiểu cáckhái niệm về hàng số và giới hạn của hàng số, các định lý áp dụng để tính số lượng giới hạn của hàng số.Phần cuối cùng trình bày về giới hạn hàm số, hàm số liên tiếp và những khái niệm vô cùng lớn, vôcùng bé.20